算法工作原理
Chapter 9 Algorithm Design Paradigms Divide and Conquer

第 9 章：算法设计范式

在前几章中，我们探讨了各种各样的算法来解决特定的问题，如排序、搜索、图遍历和字符串处理。虽然这些算法在应用和实现上各不相同，但它们却共享一些共同的基本设计原则或范式。

在本章中，我们将探讨三种基本的算法设计范式：分治、贪心算法和动态规划。这些范式提供了解决问题的一般方法，可以被改编用来解决各种各样的问题。通过理解这些范式，我们可以洞察算法的结构，并为我们遇到的问题开发新的算法。

分治

分治范式是一种强大且广泛使用的设计高效算法的方法。其基本思想是将问题分解成较小的子问题，递归地解决这些子问题，然后将它们的解组合起来解决原始问题。

一个典型的分治算法包括三个步骤:

  1. 分解: 如果问题足够小到可以直接解决，就解决它。否则，将问题分解成较小的子问题。
  2. 解决: 递归地解决每个子问题。
  3. 合并: 将子问题的解组合起来得到原始问题的解。

分治算法的有效性源于它们在每个递归步骤中能将问题的规模按一定比例缩小。这通常会导致算法具有对数时间复杂度或多项式对数时间复杂度。

归并排序: 一个经典的分治算法

最著名的分治算法之一就是归并排序，我们在第 2 章中详细研究过它。回顾一下,归并排序通过将数组分成两半,递归地排序每一半,然后合并已排序的两半来实现排序。

下面是归并排序的高级描述:归并排序算法:

function mergesort(array):
    # 如果数组长度小于等于1，直接返回
    if array.length <= 1:
        return array
    else:
        # 计算数组中间位置
        mid = array.length / 2
        # 递归对左半部分进行排序
        left = mergesort(array[0:mid])
        # 递归对右半部分进行排序
        right = mergesort(array[mid:])
        # 合并左右两个有序数组
        return merge(left, right)

merge函数将两个有序数组合并为一个有序数组:

function merge(left, right):
    # 结果数组
    result = []
    # 当左右两个数组都不为空时
    while left is not empty and right is not empty:
        # 比较两个数组的首元素，将较小的元素添加到结果数组
        if left[0] <= right[0]:
            append left[0] to result
            remove left[0] from left
        else:
            append right[0] to result
            remove right[0] from right
    # 将左右两个数组剩余元素添加到结果数组
    append remaining elements of left to result
    append remaining elements of right to result
    # 返回结果数组
    return result

分治策略使得归并排序的最坏情况时间复杂度为O(n log n),使其成为最高效的通用排序算法之一。

主定理

许多分治算法的运行时间可以使用主定理进行分析,主定理提供了一个通用的公式来解决形式为T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归关系。

其中a是递归调用的次数,n/b是每个子问题的大小,f(n)是分解问题和合并结果的代价。

主定理指出,这个递归关系的解为:

  1. 如果f(n) = O(n^(log_b(a) - ε))对于某个常数ε > 0,则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
  2. 如果f(n) = Θ(n^log_b(a)),则T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n)。
  3. 如果f(n) = Ω(n^(log_b(a) + ε))对于某个常数ε > 0,且af(n/b) ≤ cf(n)对于某个常数c < 1和所有足够大的n,则T(n) = Θ(f(n))。

对于归并排序,我们有a = 2(两个递归调用)、b = 2(每个子问题大小为原问题的一半)和f(n) = Θ(n)(合并步骤的时间复杂度为线性)。由于log_2(2) = 1,我们落入主定理的第二种情况,因此归并排序的运行时间为Θ(n log n)。

其他分治算法

许多其他算法也采用分治策略,如快速排序、Strassen算法、Cooley-Tukey FFT算法等。这些算法的运行时间分析也可以使用主定理进行。分治算法可以用来设计算法。一些著名的例子包括:

  • 快速排序: 与归并排序类似,快速排序是一种分治排序算法。它围绕一个枢轴元素对数组进行分区,递归地对枢轴左右两侧的子数组进行排序,然后将结果连接起来。

  • 二分搜索: 在有序数组中查找元素的二分搜索算法可以视为一种分治算法。它将目标值与数组中间元素进行比较,然后递归地搜索左半部分或右半部分。

  • Karatsuba 乘法: 这是一种分治算法,可以在 O(n^log_2(3)) ≈ O(n^1.585) 的时间内计算两个 n 位数的乘积,比传统的 O(n^2) 算法更快。

  • Strassen 矩阵乘法: Strassen 算法可以在 O(n^log_2(7)) ≈ O(n^2.807) 的时间内计算两个 n × n 矩阵的乘积,比朴素的 O(n^3) 算法更快。

这些例子展示了分治范式在设计高效算法方面的versatility和力量。

贪心算法

贪心算法是一类在每一步都做出局部最优选择的算法,希望能找到全局最优解。它们通常用于优化问题,在这些问题中,解是通过一系列选择逐步构建的,每一个选择在当时看起来都是最好的。

贪心算法的关键特点是:

  1. 它们在每一步都做出局部最优选择,而不考虑未来的后果。
  2. 它们假设局部最优选择会导致全局最优解。
  3. 它们从不重新考虑之前的选择。

贪心算法通常很容易理解和实现,而且效率很高。但是,它们并不总能产生最优解,因为局部最优选择可能无法导致全局最优解。

哈夫曼编码: 一种用于数据压缩的贪心算法

哈夫曼哈夫曼编码（Huffman coding），我们在第5章中遇到的，是一种用于构建最优前缀码以压缩数据的贪心算法。该算法自底向上构建二叉树，将较短的比特序列分配给更频繁出现的字符。

以下是哈夫曼编码算法的高级描述:

  1. 为每个字符创建一个叶子节点，并将其添加到优先级队列中。
  2. 当队列中还有多个节点时:
    • 从队列中删除频率最低的两个节点。
    • 创建一个新的内部节点，将这两个节点作为其子节点，频率等于两个节点频率之和。
    • 将新节点添加到优先级队列中。
  3. 剩余的节点就是根节点，树构建完成。

贪心选择是始终合并频率最低的两个节点。这种局部最优的选择会导致全局最优的前缀码。

以下是哈夫曼编码的一个示例:

假设我们有以下字符频率:

d: 1
e: 1

这个例子的哈夫曼树如下:

      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

得到的哈夫曼编码如下:

A: 00
B: 01
C: 10
D: 110
E: 111

因此, 原始字符串"AAAABBBCCCDDDEEE"将被编码为:

00000000010101101010110110110111111111

哈夫曼编码通过为更频繁的符号分配较短的编码来实现压缩。这些编码是前缀码,意味着没有一个编码是另一个编码的前缀,从而实现无歧义解码。

LZW压缩

Lempel-Ziv-Welch (LZW)压缩是一种基于字典的压缩算法,在压缩输入的同时构建字典(或代码本)。LZW广泛应用于文件压缩实用程序,并被用于GIF图像格式。

LZW的关键思想是用单个代码替换字符串。它逐字符读取输入字符串,通过用固定长度的代码替换字符串来对其进行编码,从而实现压缩。这是一个使用变长编码的 LZW 压缩算法的示例。字符串越长,使用单个数字编码所节省的空间就越多。

以下是 LZW 压缩算法的逐步描述:

  1. 将字典初始化为包含所有单字符字符串。
  2. 在字典中找到当前输入中最长的匹配字符串 W。
  3. 输出 W 在字典中的索引,并从输入中删除 W。
  4. 将 W 和输入中下一个符号添加到字典中。
  5. 转到步骤 2。

让我们看一个例子。假设我们要压缩字符串 "ABABABABA" 使用 LZW。

  1. 将字典初始化为包含 "A" 和 "B"。
  2. 最长匹配是 "A"。输出其索引 (0) 并从输入中删除它。字典现在包含 "A"、"B" 和 "AB"。
  3. 最长匹配是 "B"。输出其索引 (1) 并从输入中删除它。字典现在包含 "A"、"B"、"AB" 和 "BA"。
  4. 最长匹配是 "AB"。输出其索引 (2) 并从输入中删除它。字典现在包含 "A"、"B"、"AB"、"BA" 和 "ABA"。
  5. 最长匹配是 "ABA"。输出其索引 (4) 并从输入中删除它。字典现在包含 "A"、"B"、"AB"、"BA"、"ABA" 和 "ABAB"。
  6. 最长匹配是 "BA"。输出其索引 (3)。输入现在为空。

"ABABABABA" 的压缩表示是索引序列 [0, 1, 2, 3, 4]，这比原始 ASCII 表示需要更少的位。

解压缩的工作方式类似,但是方向相反:

  1. 将字典初始化为包含所有单字符字符串。
  2. 从输入中读取一个代码 X。
  3. 输出字典中 X 对应的字符串。
  4. 如果前一个代码存在,将前一个字符串连接上 X 对应字符串的第一个字符添加到字典中。
  5. 转到步骤 2。

LZW 压缩简单快速,适用于许多应用程序。但它也有一些局限性。字典的大小可能会非常大,占用大量内存。此外,字典在每个输入块之后都会重置,这可能会降低小文件的压缩率。

尽管存在这些限制,但 LZW 仍然是一种广受欢迎和有效的压缩算法,特别是在速度比最高压缩率更重要的应用中。

结论

在本章中,我们探讨了几种重要的字符串处理算法,包括字符串排序、字典树、子字符串搜索、正则表达式和数据压缩。这些算法构成了许多现实世界应用的基础,是任何处理文本数据的程序员必备的工具。

我们首先讨论了字符串排序,这是优化的排序算法,利用了字符串的特殊属性。键索引计数、LSD 基数排序和 MSD 基数排序提供了高效的基于字符排序字符串的方法。

接下来,我们研究了字典树,这是一种用于存储和检索字符串的树状数据结构。字典树可以实现快速的前缀匹配,常用于自动完成和 IP 路由表等应用中。

子字符串搜索算法,如 Knuth-Morris-Pratt 和 Boyer-Moore 算法,使我们能够有效地在较大的字符串中搜索模式。这些算法在文本编辑、计算生物学和信息检索等领域有广泛应用。

正则表达式提供了一种强大而灵活的方式来描述字符串模式。我们讨论了正则表达式的基本语法,以及它们如何在各种编程语言和工具中用于模式匹配和字符串操作。

最后,我们探讨了数据压缩算法,这些算法通过利用输入中的冗余和模式来减小数据大小。我们介绍了游程编码、霍夫曼编码和 Lempel-Ziv-Welch 压缩,每种算法都有自己的优势和应用场景。

理解这些字符串处理算法和数据结构对于任何从事文本数据处理工作的人来说都是至关重要的。以下是该 Markdown 文件的中文翻译。对于代码部分,请不要翻译代码,只翻译注释。

使用文本数据

随着非结构化数据量的不断增加,高效地操作、搜索和压缩字符串的能力将变得越来越有价值。通过掌握本章涵盖的技术,您将能够很好地应对自己项目和应用程序中各种字符串处理挑战。

字符串基础

字符串是最常见的数据类型之一,它们用于表示文本信息。在本节中,我们将探讨一些基本的字符串操作。

# 创建一个字符串
my_string = "Hello, World!"
 
# 获取字符串长度
length = len(my_string)
 
# 访问字符串中的单个字符
first_char = my_string[0]
last_char = my_string[-1]
 
# 连接字符串
greeting = "Hello" + ", " + "World!"
 
# 格式化字符串
name = "Alice"
message = f"Hello, {name}!"

字符串搜索和替换

在处理文本数据时,经常需要搜索和替换字符串中的特定模式。Python 提供了强大的字符串搜索和替换功能。

# 在字符串中搜索子字符串
text = "The quick brown fox jumps over the lazy dog."
if "fox" in text:
    print("Found 'fox' in the text.")
 
# 替换字符串中的子字符串
new_text = text.replace("fox", "cat")
print(new_text)

字符串格式化

格式化字符串是一种将值插入到字符串中的方法。这在创建动态消息和报告时非常有用。

# 使用格式化字符串
name = "Alice"
age = 25
message = f"My name is {name} and I am {age} years old."
print(message)
 
# 使用字符串模板
from string import Template
template = Template("My name is $name and I am $age years old.")
message = template.substitute(name=name, age=age)
print(message)

字符串操作

除了基本的搜索和替换,Python 还提供了许多其他有用的字符串操作方法。

# 拆分和连接字符串
text = "one two three"
words = text.split()
new_text = " ".join(words)
 
# 删除字符串两端的空白字符
text = "   hello, world!   "
trimmed_text = text.strip()
 
# 将字符串转换为大写或小写
text = "Hello, World!"
upper_text = text.upper()
lower_text = text.lower()

字符串编码

在处理文本数据时,了解字符编码很重要。Python 提供了强大的字符编码支持。

# 编码和解码字符串
text = "你好, 世界!"
encoded_text = text.encode("utf-8")
decoded_text = encoded_text.decode("utf-8")
print(decoded_text)

通过掌握这些基本的字符串操作技术,您将能够更好地处理和分析各种文本数据,从而在您的项目和应用程序中取得更好的成果。

Chapter 8 Algorithm Analysis TechniquesChapter 10 Intractable Problems and Approximation Algorithms