Chương 6: Không gian cong

Trong các chương trước, chúng ta đã thấy cách lý thuyết đặc biệt của tương đối hẹp đã cách mạng hóa hiểu biết của chúng ta về không gian và thời gian, đồng nhất chúng thành một không gian thời gian Minkowski bốn chiều. Sau đó, chúng ta đã thấy cách nguyên lý tương đương và những bài học của lý thuyết đặc biệt đã dẫn Einstein đến lý thuyết tổng quát về tương đối, trong đó trọng lực không còn là một lực, mà là một biểu hiện của không gian cong. Trong chương này, chúng ta sẽ sâu vào mô tả toán học về không gian cong do hình học Riemann và tích phân tensor cung cấp. Chúng ta sẽ thấy cách hình thức này dẫn đến phương trình trường của Einstein, phương trình chủ đạo quy định động lực của không gian cong. Cuối cùng, chúng ta sẽ khám phá một số giải pháp quan trọng cho các phương trình này, mang lại cho chúng ta các mô hình để hiểu các hiện tượng từ lỗ đen đến tiến化 của vũ trụ như một thực thể.

Toán học của không gian cong

Sự nhìn nhận quan trọng của lý thuyết tổng quát tương đối của Einstein là trọng lực không phải là một lực theo nghĩa thông thường, mà là một biểu hiện của sự cong của không gian thời gian. Trong sự hiện diện của vật chất và năng lượng, không gian thời gian trở nên cong, và sự cong này chính là điều chúng ta trải nghiệm như trọng lực. Để cung cấp mô tả toán học chính xác về không gian cong, Einstein đã sử dụng các công cụ của hình học Riemann và tính toán tensor, được phát triển vào thế kỷ 19 bởi các nhà toán học như Gauss, Riemann, Ricci và Levi-Civita.

Trong hình học Riemann, một không gian cong được mô tả bằng một ma trận véc-tơ số liệu, thường được ký hiệu là $g_{\mu\nu}$. Chuẩn trình bày tất cả thông tin về hình học của không gian, cho phép chúng ta tính toán khoảng cách, góc và thể tích. Trong một không gian thời gian bốn chiều, chuẩn trình bày là một ma trận 4x4, với chỉ số $\mu$ và $\nu$ chạy từ 0 đến 3 (thường dùng 0 để chỉ kích thước thời gian). Chuẩn trình bày là đối xứng, có nghĩa là $g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$, do đó nó có 10 thành phần độc lập.

Chuẩn trình bày cho phép chúng ta tính toán khoảng thời gian $ds$ giữa hai sự kiện gần nhau, tổng quát hóa khoảng thời gian Minkowski của lý thuyết đặc biệt:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Ở đây, $dx^\mu$ đại diện cho sự di chuyển vô hạn nhỏ trong tọa độ thứ $\mu$. Công thức tổng hợp Einstein được sử dụng, có nghĩa là các chỉ số lặp lại được cộng lại.

Chuẩn trình bày cũng cho phép chúng ta định nghĩa khái niệm vận chuyển song song, đó là cách chúng ta so sánh vector (và tensor) tại các điểm khác nhau trong không gian cong. Trên không gian phẳng, vận chuyển song song là trực trặc - một vector giữ nguyên hướng khi nó được di chuyển dọc theo một đường đi. Nhưng trên không gian cong, vận chuyển song song phụ thuộc vào đường đi, dẫn đến hiện tượng như hiệu ứng geodetic (sự xoay của một vector được vận chuyển song song theo một đường đóng).

Sự cong của không gian thời gian được mã hóa trong tensor cong Riemann $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, được xây dựng từ chuẩn và các đạo hàm của nó. Tensor Riemann đo độ không giao hoán của vận chuyển song song, tức là mức độ mà một vector thay đổi khi được vận chuyển song song theo hai đường khác nhau. Nếu tensor Riemann bằng không ở mọi nơi, không gian là phẳng (Euclide hoặc Minkowskian). Các thành phần không bằng không của tensor Riemann chỉ ra sự hiện diện của sự cong.

Từ tensor Riemann, chúng ta có thể xây dựng tensor Ricci $R_{\mu\nu}$ bằng cách thu gọn (cộng dồn) hai chỉ số:

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

Tensor Ricci, lần lượt, có thể được thu gọn để cho ra scala Ricci $R$:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

Tensor Ricci và scala cung cấp một phép đo về độ cong cục bộ tại mỗi điểm trong không gian thời gian.

Với những công cụ này, chúng ta bây giờ có thể viết xuống phương trình trường của Einstein, phương trình chủ đạo của tương đối tổng quát.

Phương trình Trường của Einstein

Phương trình trường của Einstein cung cấp mô tả động của cách cong của không gian thời gian liên quan đến sự hiện diện của vật chất và năng lượng. Phương trình, ở dạng ngắn gọn nhất, đọc là:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Ở đây, $G_{\mu\nu}$ là tensor Einstein, được định nghĩa là:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

Tensor Einstein mã hóa thông tin về sự cong của không gian thời gian. Ở phía bên phải, $T_{\mu\nu}$ là tensor căng-kinh năng lượng, mô tả mật độ và luồng năng lượng và moment trong không gian thời gian. Hằng số $8\pi$ được chọn để khớp với giới hạn Newton của lý thuyết.

Tensor căng-kinh năng lượng $T_{\mu\nu}$ là một điều đối xứng 4x4, với các thành phần có nghĩa vật lý:

• $T_{00} $ đại diện cho mật độ năng lượng
• $T_{0i} $ và $T_{i0} $ đại diện cho mật độ động lượng (luồng năng lượng)
• $T_{ij} $ đại diện cho áp suất

Đối với một chất lỏng hoàn hảo, tensor căng-kinh năng lượng có dạng:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

trong đó $\rho $ là mật độ năng lượng, $p $ là áp suất và $u^\mu $ là bốn-vận tốc của chất lỏng.

Phương trình trường của Einstein là một tập hợp 10 phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cho các thành phần của chuẩn $g_{\mu\nu}$. Các phương trình khó giải trong trường hợp tổng quát, yêu cầu công cụ toán học tinh vi và thường phương pháp số. Tuy nhiên, một số giải pháp chính xác đã được tìm thấy, đã cung cấp cái nhìn sâu sắc về bản chất của trọng lực và cấu trúc của vũ trụ.

Các giải pháp của phương trình của Einstein

Giải pháp chính xác đầu tiên cho phương trình của Einstein đã được tìm thấy bởi Karl Schwarzschild vào năm 1916, chỉ vài tháng sau khi Einstein công bố lý thuyết của mình. Giải pháp Schwarzschild mô tả hình học không gian thời gian bên ngoài một vật chất cầu tảy đối xứng, giống như một ngôi sao không xoay hoặc lỗ đen không xoay. Chuẩn cho giải pháp Schwarzschild là:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Ở đây, $M$ là khối lượng của vật thể trung tâm và $(r, \theta, \phi)$ là các tọa độ cầu. Giải pháp Schwarzschild có một số đặc điểm đáng chú ý:

• Tại $r=2M$, phép đo ghi nhận có vẻ trở nên không thể. Bán kính này, gọi là bán kính Schwarzschild hoặc hố sự kiện, là nơi tốc độ thoát bằng tốc độ của ánh sáng. Nếu khối lượng nén trong bán kính này thì hình thành một lỗ đen.
• Đối với $r<2M$, vai trò của $r$ và $t$ bị đảo ngược. Di chuyển đến $r$ nhỏ hơn giống như di chuyển phía trước trong thời gian, có nghĩa là một khi bên trong vùng sự kiện, không thể tránh được đến điểm đặc biệt trung tâm tại $r=0$.
• Giải pháp Schwarzschild dự đoán sự tồn tại của lỗ đen, một trong những dự đoán kỳ thú và hấp dẫn nhất của lý thuyết tương đối chung.

Một giải pháp quan trọng khác là định lý Kerr, do Roy Kerr phát hiện vào năm 1963. Giải pháp Kerr mô tả không gian thời gian xung quanh một lỗ đen quay. Nó phức tạp hơn nhiều so với định lý Schwarzschild, nhưng có một số đặc điểm tương tự, như một vùng sự kiện và một điểm đặc biệt trung tâm. Định lý Kerr cũng dự đoán sự tồn tại của một "vùng ergosphere", một vùng bên ngoài vùng sự kiện nơi không gian thời gian bị kéo theo xoay của lỗ đen, hiệu ứng được biết đến là kéo khung.

Trên tỷ lệ thiên văn học, các giải pháp quan trọng nhất cho phương trình Einstein là các metric Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Các metric này mô tả vũ trụ đồng nhất và cân đối, mở rộng hoặc co rút theo thời gian. Các metric FLRW được đặc trưng bởi hệ số tỷ lệ $a(t)$, mô tả cách độ dài giữa các thiên hà thay đổi theo thời gian, và một tham số độ cong $k$, có thể là dương (vũ trụ kín), âm (vũ trụ mở), hoặc không (vũ trụ phẳng).

Các metric FLRW dẫn đến các phương trình Friedmann, mô tả sự tiến hóa của hệ số tỷ lệ $a(t)$ dựa trên mật độ năng lượng $\rho$ và áp suất $p$ của vật chất và năng lượng trong vũ trụ:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Ở đây, dấu chấm biểu thị đạo hàm theo thời gian và $G$ là hằng số Newton. Các phương trình Friedmann, kết hợp với phương trình trạng thái liên quan đến $\rho$ và $p$, cung cấp cơ sở cho mô hình Big Bang tiêu chuẩn về vũ trụ. Chúng dự đoán rằng vũ trụ bắt đầu trong một trạng thái nóng, dày đặc, và đã mở rộng và làm lạnh kể từ đó. Mô hình đã được thành công vang dội trong việc giải thích một loạt các quan sát thiên văn, từ sự mở rộng của vũ trụ đến bức xạ viền nền viễn vọng.

Tuy nhiên, mô hình Big Bang tiêu chuẩn không phải là hoàn hảo. Mô hình dự đoán rằng vũ trụ sớm đầu sẽ phải rất đồng nhất, với các vùng không thể tiếp xúc nhau có cùng thuộc tính gần như nhau. Đây được gọi là vấn đề chướng ngại tầm nhìn. Mô hình cũng dự đoán sự tồn tại của đơn cực từ trường, nhưng chưa bao giờ được quan sát. Những vấn đề này và những vấn đề khác đã dẫn đến sự phát triển của lý thuyết về tự phồng của vũ trụ vào thập kỷ 1980.

Tự phồng giả định rằng vũ trụ đầu tiên đã trải qua một giai đoạn mở rộng mũi tên, do năng lượng của một trường vô hướng gọi là inflaton. Sự mở rộng nhanh này sẽ làm mờ bất kỳ bất thường ban đầu nào, giải quyết vấn đề chướng ngại tầm nhìn. Nó cũng đã làm giảm nồng độ cực từ trường đến mức không thể quan sát được. Tự phồng đưa ra một số dự đoán, chẳng hạn như vũ trụ hơi phẳng và một phổ cụ thể của các dao động mật độ nguyên thủy, đã được xác nhận bằng quan sát của bức xạ viền nền viễn vọng.

Một sự phát triển lớn khác trong thiên văn học là phát hiện về năng lượng tối trong những năm 1990. Sự quan sát về siêu tân tinh xa xôi đã cho thấy sự mở rộng của vũ trụ đang tăng tốc, trái ngược với kỳ vọng của mô hình Big Bang tiêu chuẩn chỉ với vật chất và bức xạ. Sự tăng tốc này được cho là do một thành phần bí ẩn gọi là năng lượng tối, có tính chất áp suất âm, đẩy vũ trụ ra xa. Mô hình đơn giản nhất cho năng lượng tối là hằng số vũ trụ, ban đầu được Einstein giới thiệu như một sửa đổi cho các phương trình của ông để cho phép một vũ trụ tĩnh. Hằng số vũ trụ tương đương với năng lượng của chân không và được đặc trưng bởi một phương trình trạng thái $p=-\rho$.

Mô hình chuẩn hiện tại về thiên văn học, được biết đến là mô hình Lambda-CDM, bao gồm cả năng lượng tối dưới dạng hằng số vũ trụ ($\Lambda$) và vật chất tối lạnh (CDM), một hình thức vật chất tương tác chỉ thông qua tác động hấp dẫn và cần thiết để giải thích sự hình thành của các thiên hà và cấu trúc quy mô lớn của vũ trụ. Mô hình Lambda-CDM đã rất thành công trong việc khớp với một loạt dữ liệu thiên văn rộng, nhưng bản chất vật lý của cả vật chất tối và năng lượng tối vẫn là một trong những bí ẩn lớn nhất trong vật lý.

Kết luận

Lý thuyết tương đối chung của Einstein cung cấp một mô tả tuyệt đẹp và sâu sắc về trọng lực như độ cong của không gian thời gian. Hình thức toán học của hình học Riemann và toán tử đa chiều cho phép chúng ta đo lường độ cong này và mối quan hệ của nó với sự hiện diện của vật chất và năng lượng. Phương trình trường của Einstein, phương trình chủ đạo của lý thuyết, đã được giải trong một số trường hợp quan trọng, dẫn đến dự đoán các hiện tượng như lỗ đen và sự mở rộng của vũ trụ.

Việc áp dụng lý thuyết tương đối chung vào thiên văn học đã dẫn đến sự phát triển của mô hình Big Bang, mô tả sự tiến hóa của vũ trụ từ trạng thái ban đầu nóng, dày đặc đến giai đoạn mở rộng hiện tại. Phát hiện vật chất tối và năng lượng tối đã yêu cầu mở rộng mô hình này, dẫn đến mô hình chuẩn hiện tại về thiên văn học, mô hình Lambda-CDM. Mặc dù đã đạt được những thành công, thuyết tương đối chung không phải là từ cuối cùng về trọng lực. Thuyết này bị phá vỡ ở trung tâm các lỗ đen và ở thời điểm ban đầu cực kỳ của vũ trụ, nơi hiệu ứng lượng tử trở nên quan trọng. Việc thống nhất thuyết tương đối chung với cơ học lượng tử vẫn là một trong những thách thức lớn của vật lý lý thuyết. Các ứng viên cho một lý thuyết lượng tử về trọng lực, như thuyết dây và thuyết lượng tử xoắn, đang là lĩnh vực nghiên cứu sôi động.

Hơn nữa, những bí ẩn về vật chất tối và năng lượng tối cho thấy hiểu biết của chúng ta về trọng lực và cấu trúc của vũ trụ còn rất nhiều bất động. Những quan sát liên tục và tương lai, từ các thiết bị phát hiện sóng vô tuyến đến các nhiệm vụ vệ tinh nghiên cứu phản xạ nhiệt độ nền vũ trụ, hứa hẹn sẽ giải quyết thêm sáng tỏ về những bí ẩn này và thử nghiệm thuyết tương đối chung trong những điều kiện càng ngày càng cực đoan hơn.