Hoofdstuk 6: Gebogen Ruimtetijd

In de voorgaande hoofdstukken hebben we gezien hoe de speciale relativiteitstheorie onze kennis van ruimte en tijd heeft veranderd, door ze te verenigen in een vierdimensionale Minkowski-ruimtetijd. Vervolgens zagen we hoe het equivalentieprincipe en de lessen van de speciale relativiteitstheorie Einstein leidden tot zijn algemene relativiteitstheorie, waarin zwaartekracht niet langer een kracht is, maar een manifestatie van gebogen ruimtetijd. In dit hoofdstuk zullen we dieper ingaan op de wiskundige beschrijving van gebogen ruimtetijd, zoals geleverd door de Riemann-geometrie en tensorrekening. We zullen zien hoe dit formalisme leidt tot Einsteins veldvergelijkingen, de belangrijkste vergelijkingen die de dynamica van ruimtetijdgebogenheid besturen. Ten slotte zullen we enkele van de belangrijkste oplossingen van deze vergelijkingen verkennen, die ons modellen bieden om fenomenen variërend van zwarte gaten tot de evolutie van het universum als geheel te begrijpen.

De wiskunde van gebogen ruimtetijd

Het belangrijkste inzicht van Einstein's algemene relativiteitstheorie is dat zwaartekracht geen kracht is in de gebruikelijke zin, maar eerder een manifestatie van de kromming van de ruimtetijd. In aanwezigheid van materie en energie wordt de ruimtetijd gekromd en deze kromming ervaren we als zwaartekracht. Om een precieze wiskundige beschrijving te geven van gebogen ruimtetijd, gebruikte Einstein de instrumenten van de Riemann-geometrie en tensorrekening, ontwikkeld in de 19e eeuw door wiskundigen zoals Gauss, Riemann, Ricci en Levi-Civita.

In de Riemann-geometrie wordt een gekromde ruimte beschreven door een metrische tensor, gewoonlijk aangeduid als $g_{\mu\nu}$. De metrische tensor bevat alle informatie over de meetkunde van de ruimte, waardoor we afstanden, hoeken en volumes kunnen berekenen. In een vierdimensionale ruimtetijd is de metrische tensor een 4x4-matrix, met indices $\mu$ en $\nu$ die van 0 tot 3 lopen (waarbij 0 meestal gereserveerd is voor de tijdsdimensie). De metrische tensor is symmetrisch, wat betekent dat $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, dus het heeft 10 onafhankelijke componenten.

Met de metrische tensor kunnen we de ruimtetijdinterval $ds$ tussen twee nabije gebeurtenissen berekenen, generaliserend naar het Minkowski-interval van de speciale relativiteitstheorie:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Hier vertegenwoordigt $dx^\mu$ een oneindig kleine verplaatsing in de $\mu$-de coördinaat. De Einstein-sommatieconventie wordt gebruikt, wat betekent dat herhaalde indices worden opgeteld.

De metrische tensor maakt ook de definitie mogelijk van het begrip parallel transport, waarmee we vectoren (en tensors) op verschillende punten in een gekromde ruimte kunnen vergelijken. In de vlakke ruimte is parallel transport triviaal - een vector behoudt zijn richting wanneer hij langs een pad wordt verplaatst. Maar in een gekromde ruimte is parallel transport pad-afhankelijk, wat leidt tot verschijnselen zoals het geodetische effect (de rotatie van een vector die parallel wordt getransporteerd langs een gesloten pad).

De kromming van ruimtetijd wordt gecodeerd in de Riemann-krommingstensor $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, die is opgebouwd uit de metrische tensor en de afgeleiden ervan. De Riemann-tensor meet de niet-commutativiteit van parallel transport, dat wil zeggen, hoeveel een vector verandert wanneer hij parallel wordt getransporteerd langs twee verschillende paden. Als de Riemann-tensor overal nul is, is de ruimte vlak (Euclidisch of Minkowskiaans). Niet-nul componenten van de Riemann-krommingstensor geven de aanwezigheid van kromming aan.

Uit de Riemann-krommingstensor kunnen we de Ricci-krommingstensor $R_{\mu\nu}$ construeren door twee van de indices te contracteren (optellen):

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

De Ricci-krommingstensor kan op zijn beurt worden gecontracteerd om de Ricci-scalar $R$ te geven:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

De Ricci-krommingstensor en -scalar geven een maat voor de lokale kromming op elk punt in de ruimtetijd.

Met deze gereedschappen in handen kunnen we nu de veldvergelijkingen van Einstein opschrijven, de belangrijkste vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie.

De veldvergelijkingen van Einstein

De veldvergelijkingen van Einstein geven een dynamische beschrijving van hoe de kromming van de ruimtetijd gerelateerd is aan de aanwezigheid van materie en energie. De vergelijkingen lezen, in hun meest compacte vorm:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Hier is $G_{\mu\nu}$ de Einstein-tensor, gedefinieerd als:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

De Einstein-tensor bevat informatie over de kromming van de ruimtetijd. Aan de rechterkant is $T_{\mu\nu}$ de energie-impulstensor, die de dichtheid en stroom van energie en impuls in de ruimtetijd beschrijft. De constante $8\pi$ is gekozen om overeen te komen met de Newtoniaanse limiet van de theorie.

De energie-impulstensor $T_{\mu\nu}$ is een symmetrische 4x4-tensor, met componenten die een fysische interpretatie hebben:

• $T_{00}$ vertegenwoordigt de energiedichtheid
• $T_{0i}$ en $T_{i0}$ vertegenwoordigen de impulsdichtheid (energiestroom)
• $T_{ij}$ vertegenwoordigt de spanning (druk)

Voor een perfect fluïdum heeft de energie-impulstensor de vorm:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

waar $\rho$ de energiedichtheid is, $p$ de druk is en $u^\mu$ de vier-snelheid van de vloeistof is.

De veldvergelijkingen van Einstein zijn een set van 10 gekoppelde, niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen voor de metrische componenten $g_{\mu\nu}$. De vergelijkingen zijn berucht moeilijk in het algemeen op te lossen en vereisen geavanceerde wiskundige technieken en vaak numerieke methoden. Er zijn echter een aantal exacte oplossingen gevonden, die diepe inzichten hebben gegeven in de aard van de zwaartekracht en de structuur van het universum.

Oplossingen van Einsteins vergelijkingen

De eerste exacte oplossing van Einsteins vergelijkingen werd gevonden door Karl Schwarzschild in 1916, slechts enkele maanden nadat Einstein zijn theorie had gepubliceerd. De Schwarzschild-oplossing beschrijft de ruimtetijd-geometrie buiten een bolvormige symmetrische massa, zoals een niet-roterende ster of een zwart gat. De metriek voor de Schwarzschild-oplossing is:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Hier is het bestand in het Nederlands:

Hier is $M$ de massa van het centrale object, en $(r,\theta,\phi)$ zijn sferische coördinaten. De Schwarzschild-oplossing heeft verschillende opmerkelijke kenmerken:

• Bij $r=2M$ lijkt de metriek singulariteit te worden. Deze straal, de Schwarzschild-straal of gebeurtenishorizon genoemd, is waar de ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Als de massa binnen deze straal wordt samengedrukt, vormt het een zwart gat.
• Voor $r<2M$ worden de rollen van $r$ en $t$ omgewisseld. Naar kleinere $r$ bewegen is als vooruit in de tijd bewegen, wat betekent dat eenmaal binnen de gebeurtenishorizon, men de centrale singulariteit bij $r=0$ niet kan vermijden.
• De Schwarzschild-oplossing voorspelt het bestaan van zwarte gaten, een van de meest exotische en fascinerende voorspellingen van de algemene relativiteitstheorie.

Een andere belangrijke oplossing is de Kerr-metriek, ontdekt door Roy Kerr in 1963. De Kerr-oplossing beschrijft de ruimtetijd rondom een roterend zwart gat. Het is aanzienlijk complexer dan de Schwarzschild-metriek, maar heeft enkele vergelijkbare kenmerken, zoals een gebeurtenishorizon en een centrale singulariteit. De Kerr-oplossing voorspelt ook het bestaan van een "ergosfeer", een gebied buiten de gebeurtenishorizon waar de ruimtetijd wordt meegesleept met de rotatie van het zwarte gat, een effect dat bekend staat als frame-dragging.

Op kosmologische schaal zijn de belangrijkste oplossingen voor de vergelijkingen van Einstein de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) metrieken. Deze metrieken beschrijven homogene en isotrope universa, die in de loop van de tijd uitzetten of samentrekken. De FLRW-metrieken worden gekenmerkt door een schaalfactor $a(t)$, die beschrijft hoe afstanden tussen sterrenstelsels veranderen met de tijd, en een krommingsparameter $k$, die positief (gesloten universum), negatief (open universum) of nul (vlak universum) kan zijn.

De FLRW-metrieken leiden tot de Friedmann-vergelijkingen, die de evolutie van de schaalfactor $a(t)$ beschrijven in termen van de energiedichtheid $\rho$ en de druk $p$ van de materie en energie in het universum:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Hier duiden punten op tijdsafgeleiden, en $G$ is de constante van Newton. De Friedmann-vergelijkingen, in combinatie met toestandsvergelijkingen die $\rho$ en $p$ relateren, vormen de basis voor het standaard Big Bang-model van de kosmologie. Ze voorspellen dat het universum begon in een hete, dichte toestand en sindsdien is uitgezet en afgekoeld. Het model is uitzonderlijk succesvol gebleken in het verklaren van een breed scala aan kosmologische waarnemingen, van de uitdijing van het universum tot de kosmische achtergrondstraling.

Het standaard Big Bang-model heeft echter ook zijn problemen. Het model voorspelt dat het vroege universum extreem uniform zou moeten zijn geweest, met regio's die geen causaal contact zouden hebben gehad met bijna identieke eigenschappen. Dit staat bekend als het horizonprobleem. Het model voorspelt ook het bestaan van magnetische monopolen, die nooit zijn waargenomen. Deze en andere kwesties hebben geleid tot de ontwikkeling van de theorie van kosmische inflatie in de jaren 80.

Inflatie stelt dat het zeer vroege universum een periode van exponentiële expansie heeft ondergaan, gedreven door de energie van een scalaire veld genaamd de inflaton. Deze snelle expansie zou eventuele initiële inhomogeniteiten hebben gladgestreken, waardoor het horizonprobleem wordt opgelost. Het zou ook magnetische monopolen verdund hebben tot onwaarneembare niveaus. Inflatie doet verschillende voorspellingen, zoals een iets niet-vlak universum en een specifiek spectrum van primitieve dichtheidsfluctuaties, die zijn bevestigd door waarnemingen van de kosmische achtergrondstraling.

Een andere belangrijke ontwikkeling in de kosmologie is de ontdekking van donkere energie aan het eind van de jaren 90. Waarnemingen van verre supernovae toonden aan dat de uitdijing van het universum versnelt, in tegenstelling tot de verwachtingen van het standaard Big Bang-model met alleen materie en straling. Deze versnelling wordt toegeschreven aan een mysterieus component genaamd donkere energie, die werkt als een negatieve druk en het universum uit elkaar duwt. Het eenvoudigste model voor donkere energie is de kosmologische constante, oorspronkelijk geïntroduceerd door Einstein als een aanpassing van zijn vergelijkingen om een statisch universum mogelijk te maken. De kosmologische constante komt overeen met de energie van de vacuüm en wordt gekarakteriseerd door een vergelijking van toestand $p=-\rho$.

Het huidige standaardmodel van de kosmologie, bekend als het Lambda-CDM-model, omvat zowel donkere energie in de vorm van een kosmologische constante ($\Lambda$) als koude donkere materie (CDM), een vorm van materie die alleen zwaartekrachtinteracties heeft en die nodig is om de vorming van sterrenstelsels en de grootschalige structuur van het universum te verklaren. Het Lambda-CDM-model is buitengewoon succesvol gebleken in het passend maken van een breed scala aan kosmologische gegevens, maar de fysieke aard van zowel donkere materie als donkere energie blijft een van de grootste mysteries in de natuurkunde.

Conclusie

Einstein's algemene relativiteitstheorie biedt een mooie en diepgaande beschrijving van zwaartekracht als de kromming van de ruimtetijd. Het wiskundige formalisme van Riemann-geometrie en tensorrekening stelt ons in staat om deze kromming en de relatie met de aanwezigheid van materie en energie te kwantificeren. Einstein's veldvergelijkingen, de belangrijkste vergelijkingen van de theorie, zijn opgelost in een aantal belangrijke gevallen, wat heeft geleid tot voorspellingen van fenomenen zoals zwarte gaten en de uitdijing van het universum.

Het toepassen van de algemene relativiteitstheorie op de kosmologie heeft geleid tot de ontwikkeling van het Big Bang-model, dat de evolutie van het universum beschrijft vanuit een hete, dichte oorsprong naar de huidige expansiefase. De ontdekking van donkere materie en donkere energie heeft uitbreidingen van dit model vereist, wat heeft geleid tot het huidige standaardmodel van de kosmologie, het Lambda-CDM-model. Ondanks zijn successen is de algemene relativiteitstheorie niet het laatste woord wat betreft zwaartekracht. De theorie faalt in het centrum van zwarte gaten en aan het begin van het universum, waar kwantumeffecten belangrijk worden. Het verenigen van algemene relativiteit met de kwantummechanica blijft een van de grote uitdagingen van de theoretische natuurkunde. Kandidaten voor een kwantumtheorie van zwaartekracht, zoals snaartheorie en luskwantumzwaartekracht, zijn actieve onderzoeksgebieden.

Bovendien suggereren de mysteries van donkere materie en donkere energie dat onze kennis van zwaartekracht en de inhoud van het universum verre van compleet is. Voortdurende en toekomstige waarnemingen, van zwaartekrachtgolfdetectoren tot satellietmissies die de kosmische achtergrondstraling bestuderen, beloven nieuw licht te werpen op deze mysteries en algemene relativiteit te testen onder steeds extremere omstandigheden.