فصل ۶: فضای زمان منحنی

در فصل‌های گذشته، دیدیم که نظریه ویژه‌نسبیت تئوریک به فهم ما از فضا و زمان انقلابی بخشید، آن‌ها را به یک فضازمان چهاربعدی مینکوفسکی متحد کرد. سپس دیدیم که اصل تعادل و دروس نظریه‌ی ویژه‌نسبیت، اینشتین را به نظریه عمومی نسبیت خود رساند که در آن گرانش دیگر نیرویی نیست، بلکه نشانه‌ای از فضای زمان منحنی است. در این فصل، به شیوه‌ریاضیاتی عمیق‌تری در مورد شرح فضای زمان منحنی استفاده شده توسط هندسه‌ی ریمانی و حساب تانسور می‌پردازیم. خواهیم دید که این فریم‌کار به معادلات میدان اینشتین، معادله‌ی اصلی کنترل کننده پویایی خمش فضای زمان، منجر می‌شود. در نهایت، برخی از راه‌حل‌های کلیدی این معادلات را بررسی خواهیم کرد که به ما مدل‌هایی را برای درک پدیده‌هایی از سیاه‌چاله‌ها تا تکامل کلانشهر فراهم می‌کنند.

ریاضیات فضای زمان منحنی

نقطه‌ی کلیدی نظریه عمومی نسبیت اینشتین این است که گرانش به معنای معمول ارتجاع نیست، بلکه نشانه‌ای از خمیدگی فضای زمان است. در حضور ماده و انرژی، فضازمان خمیده می‌شود و این خمیدگی را به عنوان گرانش تجربه می‌کنیم. برای شرح دقیق ریاضیاتی از فضای زمان خمیده، اینشتین به ابزارهای هندسه‌ی ریمانی و حساب تانسور متوسل شد، که در قرن ۱۹ توسط ریاضی‌دانانی مانند گاوس، ریمان، ریچی و لویی-چیویتا توسعه یافته است.

در هندسه‌ی ریمانی، فضای منحنی با تانسور متریک، که معمولاً با نماد $g_{\mu\nu}$ نمایش داده می‌شود، شرح داده می‌شود. این تانسور معلومات راجع به هندسه‌ی فضا را رمزگذاری می‌کند و به ما امکان تحلیل فواصل، زوایا و حجامت‌ها را می‌دهد. در یک فضای زمان چهاربعدی، متریک یک ماتریس 4x4 است که با شاخص‌های $\mu$ و $\nu$ از صفر تا ۳ (با صفر عموماً برای ابعاد زمان استفاده می‌شود) تغییر می‌کند. متریک تقارنی است که بیانگر این است که $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$، بنابراین ده عنصر مستقل دارد.

متریک به ما امکان محاسبه‌ی فاصله $ds$ بین دو رویداد نزدیک را می‌دهد که از تعمیم فاصله‌ی مینکوفسکی نظریه‌ی ویژه‌نسبیت استفاده می‌کند:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

در اینجا، $dx^\mu$ یک جا به جایی بی‌انتهائی در $\mu$-امین هماهنگ-محور را نمایش می‌دهد. قرارداد مجموعه‌ی اینشتین استفاده شده است، یعنی شاخص‌های تکراری جمع می‌شوند.

متریک همچنین به ما امکان معرفی مفهوم حمل موازی را می‌دهد که نحوه‌ی مقایسه بردارها (و تانسورها) در نقاط مختلف در یک فضای منحنی را تعریف می‌کند. در فضای صاف، حمل موازی ساده است - یک بردار جهت خود را حفظ می‌کند وقتی به طول مسیری حرکت می‌کند. اما در فضای منحنی، حمل موازی مسیر وابسته است، که منجر به پدیده‌هایی مانند اثر جیودتیک (چرخش بردار حمل موازی شده در طول مسیر بسته) می‌شود.

وجود خمیدگی فضای زمان در تانسور خمش ریمان $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ رمزگذاری می‌شود که از متریک و مشتقات آن بساخته می‌شود. تانسور خمش ریمان، عدم قابل تبدیل نامتکافتگی حمل موازی را اندازه‌گیری می‌کند، به عبارت دیگر میزانی که یک بردار تغییر می‌کند وقتی که حمل موازی شده در دو مسیر مختلف حرکت می‌کند. اگر همه‌جا تانسور خمش ریمان صفر باشد، فضا صاف است (اقلیدی یا مینکوفسکی). اجزای غیر صفر تانسور خمش ریمان حضور خمیدگی را نشان می‌دهند.

از تانسور خمش ریمان، می‌توانیم تانسور ریچی $R_{\mu\nu}$ را با اعتباردادن (جمع‌اوری) دو شاخص ساخت:

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

تانسور ریچی، بتوان تانسور ریچی محلی در هر نقطه‌ی فضازمان محاسبه کنیم.

با این ابزارهای در دست، می‌توانیم معادله‌های میدان اینشتین، معادله‌ی اصلی نسبیت عمومی، را بیان کنیم.

معادلات میدان اینشتین

معادلات میدان اینشتین، شرحی پویا از چگونگی خمیدگی فضای زمان را نسبت به حضور ماده و انرژی ارائه می‌دهند. معادلات، در شکل فشرده‌شده‌ی آن‌ها، به صورت زیر عبارت می‌شوند:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

در اینجا، $G_{\mu\nu}$ تانسور اینشتین است که به صورت زیر تعریف شده است:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

تانسور اینشتین معلوماتی درباره‌ی خمیدگی فضازمان را رمزگذاری می‌کند. در طرف راست، $T_{\mu\nu}$ تانسور فشار-انرژی است که نمایانگر چگالی و جریان انرژی و جنبش در فضازمان است. ثابت $8\pi$ برای هم‌خوانی با محدوده‌ی نیوتونی آن تئوری انتخاب شده است.

تانسور فشار-انرژی $T_{\mu\nu}$ یک تانسور تقارنی 4x4 است، که بخش‌هایی با تفسیرهای جسمی دارد:

• $T_{00}$ چگالی انرژی را نمایش می‌دهد
• $T_{0i}$ و $T_{i0}$ چگالی جنبش (جریان انرژی) را نمایش می‌دهند
• $T_{ij}$ فشار را نمایش می‌دهد

برای یک سیال کامل، تانسور فشار-انرژی به شکل زیر است:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

که در آن $\rho$ چگالی انرژی، $p$ فشار و $u^\mu$ تنشار-چهاربهدود سیال است.

معادلات میدان اینشتین مجموعه‌ای از ۱۰ معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی برای اجزای متریک $g_{\mu\nu}$ هستند. این معادلات به شدت سخت در کل حل می‌شوند، به ابزارهای ریاضیاتی پیچیده و اغلب روش‌های عددی نیاز دارند. با اینحال، تعدادی از راه‌حل‌های دقیق پیدا شده‌اند که واردات عمیقی در مورد طبیعت گرانش و ساختار کائون را فراهم آورده‌اند.

راه‌حل‌های معادلات اینشتین

اولین راه‌حل دقیق برای معادلات اینشتین در سال ۱۹۱۶ به وسیله‌ی کارل شوارتزشیلد، چند ماه پس از انتشار نظریه‌ی اینشتین، پیدا شد. راه‌حل شوارتزشیلد هندسه‌ی فضازمان بیرونی یک جرم همگن کروی را توصیف می‌کند، مانند ستاره‌ی غیردورانی یا سیاه‌چاله. متریک راه‌حل شوارتزشیلد به شرح زیر است:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

در اینجا، $ M $ جرم شیء مرکزی است و $(r،\theta،\phi)$ مختصات کروی هستند. حل Schwarzschild چند ویژگی قابل توجه دارد:

• در $r = 2M$، متریک به نظر می‌رسد شبه منحنی می‌شود. شعاعی به این نام یا افق رویداد Schwarzschild، شعاعی است که در آن سرعت فرار مساوی سرعت نور است. اگر جرم در این شعاع فشرده شود، یک چاله سیاه شکل می‌گیرد.
• برای $r<2M$، نقش $ r $ و $ t $ جابه‌جا شده است. حرکت به $ r $ کوچکتر مانند حرکت به جلو در زمان است، به این معنی که یک بار داخل افق رویداد قرار گرفته اید، نمی توانید از رسیدن به تنگنای مرکزی در $ r=0 $ جلوگیری کنید.
• حل Schwarzschild پیش‌بینی می‌کند که چاله‌های سیاه وجود دارند که یکی از مهم‌ترین و جالب‌ترین پیش‌بینی‌ها در نسبیت عام است.

یک حل مهم دیگر متریک Kerr است که در سال 1963 توسط روی کِر کشف شد. حل Kerr فضازمان را در اطراف چاله سیاهی چرخان توصیف می‌کند. به طور قابل توجهی پیچیده‌تر از متریک Schwarzschild است، اما برخی ویژگی‌های مشابهی دارد، مثل افق رویداد و تنگنای مرکزی. حل Kerr همچنین وجود منطقه‌ای به نام "امرژی ساز" را پیش‌بینی می‌کند که در خارج از افق رویداد وقت و فضا در اثر چرخش چاله سیاه همراه می‌شوند.

در مقیاسهای کیهانی، مهم‌ترین حلهای معادلات اینشتین متریک های فریدمن-لمتر-رابرتسون-واکر (FLRW) هستند. این متریک ها کیهان های همگن و ایزوتروپی را توصیف می‌کنند. این کیهان ها با گذشت زمان توسعه یا متقابل می‌شوند. متریک های FLRW با بهره بردن از عامل مقیاس $ a(t) $ تغییر از طول بین کهکشان ها را در طی زمان توصیف می‌کند و با عامل خمیدگی $ k $ که می‌تواند مثبت (جهان بسته)، منفی (جهان باز) یا صفر (جهان صاف) باشد، مشخص می‌شوند.

معادلات فریدمان به پیش‌بینی تکامل عامل مقیاس $ a(t) $ بر اساس چگالی انرژی $ \rho $ و فشار $ p $ ماده و انرژی در جهان می‌پردازند:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

در اینجا، نقاط زمانی مشتق به معنای زمانی هستند و $ G $ ثابت نیوتن است. معادلات فریدمان در کنار معادلات حالتی مرتبط با $ \rho $ و $ p $، پایه مدل بیگ بنگ استاندارد کیهان شناسی را فراهم می کنند. آنها پیش‌بینی می‌کنند که کیهان در یک حالت گرم و نژادی شروع شده و از آن زمان به بعد در حال توسعه و سرد شدن بوده است. این مدل با موفقیت بسیاری در توضیح مشاهدات کیهان شناسی از گسترش جهان تا تابش پس‌زمینه کیهان توانسته است.

با این حال، مدل بزرگ منفجر معمول مشکلات خود را دارد. بر اساس مدل، جهان اولیه باید بسیار یکنواخت باشد و نواحی که نمی‌توانستند در تماس زمانی باشند، خواص تقریباً یکسانی داشته باشند. این معروف به مشکل شعاع هاست. مدل همچنین وجود تک قطبی های مغناطیسی را پیش‌بینی می‌کند که هرگز مشاهده نشده اند. این و دیگر مسائل دیگر منجر به توسعه تئوری تورم کیهانی در دهه ۱۹۸۰ شد.

تئوری تورم، فرض می کند که جهان بسیار اولیه یک دوره گسترش صحرایی را تجربه کرده است که به واسطه انرژی میدانی اسکالر به نام انفلاتون (inflaton) اداره می‌شود. این گسترش سریع هر گونه ناهمگونی های اولیه را صاف می‌کند و مشکل شعاع را حل می‌کند. باعث رقیق کردن هر تنها‌های مغناطیسی به سطحی نامشهود نیز می‌شود. تورم چندین پیش‌بینی دارد، مانند جهان کمی غیرصاف و طیف خاصی از ناهمسانگردی های چگالی اولیه که توسط مشاهدات تابش پس‌زمینه کیهان تایید شدند.

یک توسعه مهم دیگر در کیهان‌شناسی کشف انرژی تاریک در اواخر دهه ۱۹۹۰ بود. مشاهدات ابرنواخترهای دور فاصله نشان داد که گسترش جهان در حال شتاب گرفتن است، عکس انتظارات مدل بزرگ منفجر با انرژی و ماده تنها. این شتاب به یک جزییات مرموز به نام انرژی تاریک نسبت داده می‌شود که عمل می‌کند مانند فشار منفی که جهان را جدا می‌کند. ساده‌ترین مدل برای انرژی تاریک ثابت کیهانی است که در ابتدا توسط اینشتین به عنوان تغییری در معادلات خود برای اجازه یک جهان ثابت معرفی شد. ثابت کیهانی معادل انرژی خالی است و به وسیله یک معادله حالت $ p = -\rho $ مشخص می‌شود.

مدل استاندارد کنوانسیونی کیهان شناسی، که به مدل لامبدا-سی‌دی-ام (Lambda-CDM) معروف است، هم انرژی تاریک به صورت یک ثابت کیهانی ($ \Lambda $) و هم ماده تاریک سرد (CDM) را شامل می شود که یک نوع ماده است که تنها به صورت گرانشی تعامل دارد و برای توضیح تشکیل کهکشان ها و ساختار بزرگ-مقیاس جهان لازم است. مدل لامبدا-سی‌دی-ام به طرز بسیار موفقیت آمیزی توانسته است با داده‌های گسترده ای از کیهان شناسی همگون کند، اما طبیعت فیزیکی هر دوماده تاریک و انرژی تاریک یکی از بزرگترین رازها در فیزیک است.

نتیجه

نظریه کلی نسبیت اینشتین توصیف زیبا و عمیقی از گرانش به عنوان خمیدگی فضا و زمان ارائه می‌دهد. فرمالیسم ریمانی هندسه و حساب کانتورال تانسور به ما اجازه می‌دهد تا این خمیدگی و ارتباط آن با حضور ماده و انرژی را به صورت کمی تعیین کنیم. معادلات میدان اینشتین، معادله مستر نظریه، در چندین مورد مهم حل شده است و منجر به پیش‌بینی هایی از جمله چاله‌های سیاه و گسترش جهان شده است.

کاربرد نسبیت عمومی در کیهان‌شناسی منجر به توسعه مدل بیگ بنگ می‌شود که تکامل جهان را از یک حالت اولیه گرم و چگال به فاز فعلی خود توصیف می‌کند. کشف ماده تاریک و انرژی تاریک نیازمند توسعه‌هایی به این مدل شد، که به مدل استاندارد کنوانسیونی کیهان‌شناسی، مدل لامبدا-سی‌دی-ام، منجر شد.

با وجود موفقیت‌هایش, نسبیت عمومی کلمه نهایی در مورد گرانش نیست.در نیمه مرکز سیاه‌چاله‌ها و در آغاز بسیار زودنمایی، جایزگی‌های کوانتومی اهمیت پیدا می‌کنند و نسبیت عمومی نیز در اینجا ناکام می‌شود. اتحاد نسبیت عمومی با تئوری های کوانتومی یکی از چالش های بزرگ فیزیک نظری است.

داشتن نظریه های کوانتومی برای گرانش مانند نظریه رشته ها و گرانش حلقوی همچنان بخش‌های فعالی از تحقیقات هستند.

علاوه بر این، رازهای ماده تاریک و انرژی تاریک نشان می‌دهد که درک ما از گرانش و محتوای جهان کاملاً تکمیل نشده است. مشاهدات در حال انجام و آینده، از آشکارسازی امواج گرانشی تا ماموریت های ماهواره‌ای بررسی پس‌زمینه مایکروویو کیهانی، قول می‌دهد نور جدیدی به این رمز و راز‌ها پاشد و نسبیت عمومی را در شرایط همواره بیشتر بازبینی کند.