6. fejezet: Görbült téridő

Az előző fejezetekben láttuk, hogy hogyan forradalmasította a speciális relativitáselmélet a tér és az idő megértését, és az eggyüttes négydimenziós Minkowski téridőbeegyeztetett. Majd láttuk, hogyan vezetett Einstein az ekvivalencia elvéből és a speciális relativitás tanulságaiból általános relativitáselméletéhez, amelyben a gravitáció már nem erő, hanem a görbült téridő megnyilvánulása. Ebben a fejezetben mélyebben belemerülünk a görbült téridő matematikai leírásába, amit a Riemann-geometria és a tenzorkalkulus biztosít. Látni fogjuk, hogyan vezet ez a formalizmus Einstein terekrol szóló szövegkötetére, a téridő görbületének dinamikáját szabályozó főegyenletre. Végül néhány kulcsfontosságú megoldásra is rálátunk ezekre az egyenletekre, amelyek modelleket jelentenek a fekete lyukaktól az univerzum egészének fejlődéséig.

Görbült téridő matematikája

Einstein általános relativitáselméletének kulcsfontosságú felismerése az, hogy a gravitáció nem az általános értelemben vett erő, hanem inkább a téridő görbületének megnyilvánulása. Az anyag és az energia jelenlétében a téridő görbülté válik, és ezt a görbületet mi tapasztaljuk mint gravitációt. A görbült téridő pontos matematikai leírásának megadásához Einstein a Riemann-geometria és a tenzorkalkulus eszközéhez fordult, amelyet a 19. században a Gauss, Riemann, Ricci és Levi-Civita nevű matematikusok fejlesztettek ki.

A Riemann-geometriában egy görbült tér egy metrikus tenzorral írható le, amelyet általában $g_{\mu\nu}$ jelölnek. A metrika tartalmazza az összes információt a tér geometriájáról, lehetővé téve a távolságok, szögek és térfogatok számítását. Egy négydimenziós téridőben a metrika egy 4x4-es mátrix, ahol az indexek $\mu$ és $\nu$ 0-tól 3-ig futnak (0 általában az idődimenzióra tartalékolódik). A metrika szimmetrikus, ami azt jelenti, hogy $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, tehát van 10 független komponense.

A metrika lehetővé teszi a téridő intervallum $ds$ kiszámítását két közeli esemény között, a speciális relativitás hiperbolikus távolságának általánosítását:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Itt $dx^\mu$ az $\mu$-ik koordináta iker {s} eltolása. Az Einstein összegezési szabályt használjuk, ami azt jelenti, hogy ismételt indexeket összegeznek.

A metrika lehetővé teszi továbbá a párhuzamos szállítás fogalmának meghatározását, amely a vektorok (és tenzorok) összehasonlításának módja különböző pontokon egy görbült térben. Egy sík térben a párhuzamos szállítás triviális - a vektor megőrzi irányát, amikor egy úton mozgatják. De egy görbült térben a párhuzamos szállítás út-függő, olyan jelenségekhez vezetve, mint a geodetikai hatás (a vektor forgása, amikor párhuzamosan szállítják egy zárt úton).

A téridő görbülete a Riemann-görbület tenzor $R_{\mu\nu\rho\sigma}$-ban kódolódik, amelyet a metrikus és annak deriváltai konstruálnak. A Riemann-tenzor méri a párhuzamos szállítás nem-kommutativitását, azaz hogy mennyire változik a vektor, amikor párhuzamosan szállítják két különböző út mentén. Ha a Riemann-tenzor mindenhol nulla, akkor a tér lapos (euklideszi vagy Minkowski). A Riemann-tenzor nem nulla komponensei a görbület jelenlétét jelzik.

A Riemann-tenzorból konstruálhatjuk a Ricci-tenzort $R_{\mu\nu}$, két index kontraktálásával (összegzése):

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

A Ricci-tenzor viszont összehúzódhat a Ricci-skalár $R$ adásával:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

A Ricci-tenzor és a skalár meghatározza a helyi görbületet minden pontban a téridőben.

Ezekkel az eszközökkel most leírhatjuk Einstein térerő-egyenleteit, a relativitáselmélet alapvető egyenletét.

Einstein térerő-egyenletei

Einstein térerő-egyenletei dinamikus leírást adnak arról, hogyan áll a téridő görbülete összefüggésben az anyag és az energia jelenlétével. Az egyenletek legkompaktabb formájukban:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Itt a $G_{\mu\nu}$ az Einstein tenzor, amelyet a következőképpen határozunk meg:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

Az Einstein tenzor információt kódol a téridő görbületéről. A jobboldalon a $T_{\mu\nu}$ a stressz-energia tenzor, amely leírja az energia és a momentum sűrűségét és fluxusát a téridőben. A $8\pi$ állandó a közönséges Newton határesetének megfelelően van kiválasztva.

A stressz-energia tenzor $T_{\mu\nu}$ egy szimmetrikus 4x4-es tenzor, amely komponensei fizikai értelmezéssel rendelkezik:

• $T_{00}$ az energiasűrűséget reprezentálja
• $T_{0i}$ és $T_{i0}$ a momentum sűrűségét (energia fluxus)
• $T_{ij}$ a nyomást reprezentálja

Egy tökéletes folyadék esetén a stressz-energia tenzor a következő alakot veszi fel:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

ahol $\rho$ az energiasűrűség, $p$ a nyomás, és $u^\mu$ a folyadék négysebessége.

Einstein térerő-egyenletei egy 10 párosított, nemlineáris parciális differenciálegyenletet alkotnak a metrika komponensei $g_{\mu\nu}$ számára. Az egyenleteket általánosan nehéz megoldani, mivel a kifinomult matematikai technikákat és gyakran numerikus módszereket igényelnek. Azonban számos pontos megoldást találtak, amelyek mély betekintést nyújtanak a gravitáció természetébe és az univerzum szerkezetébe.

Az Einstein-egyenletek megoldásai

Az első pontos megoldást Einstein egyenleteire Karl Schwarzschild találta meg 1916-ban, csak pár hónappal azután, hogy Einstein közzétette elméletét. A Schwarzschild-megoldás leírja a görbült téridő geometriáját egy gömbileg szimmetrikus tömeg külső részén, mint egy nem forgó csillag vagy fekete lyuk. A Schwarzschild-megoldás metrikája a következő:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Itt, $M$ a központi objektum tömege, és $(r,\theta,\phi)$ gömbkoordináták. A Schwarzschild-megoldásnak számos jelentős tulajdonsága van:

• $r=2M$-nél a metrika látszólag szingularitássá válik. Ez a sugár, amit Schwarzschild-sugárnak vagy eseményhorizontnak hívnak, ahol a menekülési sebesség egyenlő a fénysebességgel. Ha a tömeg ezen a sugaron belül össze van tömörítve, egy fekete lyukat alkot.
• $r<2M$ esetén az $r$ és $t$ szerepei cserélődnek fel. A kisebb $r$ értékek felé haladás az időben való előre haladásnak felel meg, ami azt jelenti, hogy egyszer belépve az eseményhorizontba, elkerülhetetlen a központi szingularitás elérése $r=0$-nál.
• A Schwarzschild-megoldás fekete lyukak létezését jósolja meg, amelyek az általános relativitáselmélet egyik legexotikusabb és legelbűvölőbb előrejelzései közé tartoznak.

Egy másik fontos megoldás a Kerr-metrius, Roberto Kerr által 1963-ban felfedezett. A Kerr-megoldás leírja a forgó fekete lyuk körüli téridőt. Ez jelentősen bonyolultabb, mint a Schwarzschild-metrius, de hasonló jellemzőkkel rendelkezik, mint az eseményhorizont és a központi szingularitás. A Kerr-megoldás azt is jósolja, hogy létezik egy "ergoszféra", amely az eseményhorizonton kívüli régió, ahol a téridő az fekete lyuk forgásával húzódik maga után, ez az effektus az ezredforgatásnak nevezett hatás.

A kozmológiai léptékekben az Einstein-egyenletek legfontosabb megoldásai a Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) metrikák. Ezek a metrikák homogén és izotróp univerzumokat írnak le, amelyek idővel tágulnak vagy összezsugorodnak. Az FLRW metrikákat egy skalárfaktor $a(t)$ és egy görbületi paraméter $k$ jellemzi, amely lehet pozitív (zárt univerzum), negatív (nyitott univerzum) vagy zérus (lapos univerzum).

Az FLRW metrikák a Friedmann-egyenletekhez vezetnek, amelyek leírják a skalárfaktor $a(t)$ fejlődését az energiasűrűség $\rho$ és a nyomás $p$ alapján az univerzumban:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Itt a pontok az idő szerinti deriváltakat jelentik, és $G$ a Newton gravitációs állandója. A Friedmann-egyenletek, összekapcsolva az állapotegyenletekkel, amelyek kapcsolatot teremtenek $\rho$ és $p$ között, a standard Nagy Bumm kozmológiai modell alapját képezik. Az egyenletek szerint az univerzum egy forró, sűrű állapotban kezdődött, és azóta folyamatosan tágul és hűl. A modell lenyűgözően sikeres volt a kozmológiai megfigyelések széles körének magyarázatában az univerzum tágulásától kezdve a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzásig.

Azonban a standard Nagy Bumm modellnek vannak problémái. A modell szerint az egykori univerzumnak rendkívül egyenletesnek kell lennie, ahol a kauzális kapcsolatban nem lévő régiók is szinte azonos tulajdonságokkal rendelkeznek. Ez a horizontproblémaként ismert. A modell azt is jósolja, hogy léteznek mágneses monopólok, amelyeket még soha nem figyeltek meg. Ezek és más problémák vezettek a kozmikus infláció elméletének kidolgozásához az 1980-as években.

Az infláció azt állítja, hogy az igen korai univerzum egy korszakát élte át, amelyet az inflaton nevű skalármező energiája vezérelt. Ez a gyors tágulás kiolvasztotta a kezdeti inhomogenitásokat, megoldva ezzel a horizontproblémát. Emellett elvékonyította a mágneses monopólokokat olyan szintekre, amelyeket nem lehet megfigyelni. Az inflációnak több előrejelzése van, például kissé nem lapos univerzum és egy specifikus spektruma az őszi sűrűségi fluktuációknak, amelyeket a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás megfigyelése igazolt.

A kozmológia másik jelentős fejlesztése a sötét energia felfedezése volt a 1990-es évek végén. A távoli szupernóvák megfigyelése azt mutatta, hogy az univerzum tágulása gyorsul, ellentétben a standard Nagy Bumm modell várakozásaival, amely csak az anyag és a sugárzás alapján működik. Ezt a gyorsulást egy titokzatos, sötét energiának nevezett komponensnek tulajdonítják, amely negatív nyomásként viselkedik, és eltaszítja az univerzumot egymástól. A sötét energia leginkább egyszerű modellje a kozmológiai állandó, amelyet eredetileg Einstein vezetett be egy módosításként az egyenleteiben annak lehetővé tétele érdekében, hogy egy statikus univerzum lehetséges legyen. A kozmológiai állandó egyenértékű a vákuum energiájával, és állapotegyenlettel $p=-\rho$ jellemezhető.

A jelenlegi standard modellje a kozmológiának az úgynevezett Lambda-CDM modell, amely magában foglalja mind a sötét energiát egy kozmológiai állandó ($\Lambda$) formájában, mind az "hideg sötét anyagot" (CDM), amely csak gravitációsan kölcsönható formája az anyagnak, és amelyre a galaxisok kialakulásának és az univerzum nagy skálájú szerkezetének magyarázata szükséges. A Lambda-CDM modell rendkívül sikeres volt a kozmológiai adatok széles skálájának illesztésében, de mind a sötét anyag, mind a sötét energia fizikai jellege továbbra is az egyik legnagyobb rejtély a fizikában.

Következtetés

Einstein általános relativitáselmélete csodálatos és mélyreható leírást nyújt a gravitációról, mint a téridő görbületéről. A Riemann-geometria és tenzorkalkulus matematikai formalizmusa lehetővé teszi ennek a görbületnek és annak kapcsolatának mind a mennyiségének, mind pedig az anyag és energia jelenlétele. Az Einstein térerőse egyenletei, a relativitáselmélet mesteregyenletei, számos fontos esetben megoldást kaptak, előrejelzésekkel a fekete lyukak és az univerzum tágulása jelenségeiről.

Az általános relativitás alkalmazása a kozmológiára a Nagy Bumm modell kidolgozásához vezetett, amely leírja az univerzum evolúcióját egy forró, sűrű kezdeti állapottól jelenlegi táguló fázisáig. A sötét anyag és a sötét energia felfedezése kiterjesztéseket igényelt a modellre, amelyek a jelenlegi kozmológiai standardmodellhez, a Lambda-CDM modellhez vezettek. Bár sikerei vannak, az általános relativitáselmélet nem a végső szó a gravitációval kapcsolatban. A elmélet megbukik a fekete lyukak központjában és az univerzum kezdetén, ahol a kvantumhatások válnak fontossá. Az általános relativitáselmélet összeegyeztetése a kvantummechanikával továbbra is az elméleti fizika egyik nagy kihívása. A húrelmélet és a hurokkvantalitási gravitáció mint a gravitáció kvantumelméleteinek jelöltjei aktív kutatási területek.

Továbbá, a sötét anyag és a sötét energia rejtélyei azt sugallják, hogy a gravitáció és az univerzum tartalmának megértése nem teljes. Folyamatban lévő és jövőbeli megfigyelések, a gravitációs hullám érzékelőktől a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzást tanulmányozó műholdmissziókig, új fényt ígérnek ezekre a rejtélyekre, és az általános relativitást még extrémebb körülmények között is tesztelik.